Геометрична прогресія, її властивості

Геометричною прогресією називають числову послідовність відмінних від нуля чисел, кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому, помноженому на одне й те саме число.

Це число отримало назву знаменника геометричної прогресії і позначається воно літерою q (початкова літера французького слова «qwoti» — частка).

1; 3; 9; 27; 81; … 

5; –15; 45; –135; …

–8; –8; –8; –8; …

Для будь-якого натурального n виконується рівність

\({b_{n + 1}} = {b_n} \cdot q.\)
\(\frac{{{b_{n + 1}}}}{{{b_n}}} = q\)

Як і будь-яка числова послідовність, геометрична прогресія може бути скінченною або нескінченною, спадною або зростаючою.

Квадрат будь-якого члена геометричної прогресії, починаючи з другого, дорівнює добутку двох сусідніх із ним членів.

\({b_n}^2 = {b_{n – 1}} \cdot {b_{n + 1}}\)
\({b_n} = \sqrt {{b_{n – 1}} \cdot {b_{n + 1}}} \)

Тобто кожний член геометричної прогресії, починаючи з другого, є середнім геометричним двох сусідніх із ним членів.

Добуток будь-яких двох членів скінченної геометричної прогресії, рівновіддалених від її крайніх членів, дорівнює добутку крайніх членів.

Формула n-го члена геометричної прогресії

Геометричною прогресією називають числову послідовність відмінних від нуля чисел, кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому, помноженому на одне й те саме число.

Це число отримало назву знаменника геометричної прогресії і позначається воно літерою q.

Формула n-го члена геометричної прогресії

\({b_n} = {b_1} \cdot {q^{n – 1}}.\)

Сума перших n членів геометричної прогресії

\({S_n} = \frac{{{b_1} – {b_n}q}}{{1 – q}}.\)
\({S_n} = \frac{{{b_1}({q^n} – 1)}}{{q – 1}}.\)

Одержані формули  називають формулами суми перших n членів геометричної прогресії.

Якщо q = 1, то кожний член геометричної прогресії буде дорівнювати b1. У такому випадку

\({S_n} = n \cdot {b_1}\)

Нескінченна геометрична прогресія  (|q| < 1) та її сума

Виявляється, що можна знайти суму нескінченної геометричної прогресії, але не будь-якої, а лише такої, в якій модуль знаменника менший за одиницю (|q| < 1).

Число \(\frac{{{b_1}}}{{1 – q}}\)

називають сумою нескінченної геометричної прогресії зі знаменником |q| < 1

Формула суми нескінченної геометричної прогресії, у якої |q| < 1.

\(S = \frac{{{b_1}}}{{1 – q}}.\)