Числові нерівності

число a більше від числа b, якщо різниця a – b — додатне число;
число а менше від числа b, якщо різниця a – b — від’ємне число;
число а дорівнює числу b, якщо різниця – b дорівнює нулю.

Для довільних чисел а і b виконується одне, і тільки одне, із трьох співвідношень:
a > ba < b або a = b.

Для порівняння двох чисел а і b досить утворити різницю a – b і з’ясувати, є вона додатним числом, від’ємним числом чи нулем. Якщо a – b > 0,
то a > b; якщо a – b < 0, то a < b; якщо a – b = 0, то a = b.

Нерівності, складені за допомогою знаків < або >, називають строгими нерівностями, а нерівності, складені за допомогою знаків  або  — нестрогими нерівностями.


Порівняти числа m і n, якщо:

а) m – 3 = n – 2;

Оскільки m – 3 = n – 2, то:

m – n = 3 – 2;

m – n = 1.

Різниця m – n є додатною, тому m > n.

б) m = 1,1n і n < 0.

m – n = 1,1n – n = 0,1n.

Оскільки n < 0, то різниця m – n є від’ємною, тому m < n.


Порівняємо числа

\(3\over 7\) та \(9\over 22\)

Для цього знайдемо їх різницю:

\(3\over 7 \) — \(9\over 22 \) = \(3*22 — 7*9 \over 22 \) = \(3\over 7*22 \)

Різниця даних чисел — число додатне, тому

\(3\over 7\) >\(9\over 22\)

Основні властивості числових нерівностей

Властивість 1. Якщо a > b, то b < a.

Властивість 2. Якщо a < b і b < c, то а c і якщо a > b і b > c, то   a> c.

Властивість 3. Якщо до обох частин правильної нерівності додати одне й те саме число, то одержимо правильну нерівність.

a < b і с — будь-яке число, a + с b + с.

Якщо деякий доданок перенести з однієї частини правильної нерівності в іншу, змінивши при цьому знак доданка на протилежний, то отримаємо правильну нерівність.

 а < b + c — правильна нерівність, а + (–с) < b + c + (–с) , а – с < b

Отже, якщо перенести доданок с у ліву частину нерівності, змінивши його знак на протилежний, то одержимо правильну нерівність.

Властивість 4. Якщо обидві частини правильної нерівності помножити або поділити на одне й те саме додатне число, то одержимо правильну нерівність.

Якщо обидві частини правильної нерівності помножити або поділити на одне й те саме від’ємне число і змінити знак нерівності на протилежний, то одержимо правильну нерівність.

a < b,

 < , якщо с — додатне число,

 > , якщо с — від’ємне число.

Властивість 5

Якщо а і b — додатні числа й а < b, то

\[\frac{1}{a} > \frac{1}{b} \]

Властивість 6

Якщо почленно додати правильні нерівності одного знака, залишивши їхній спільний знак, то одержимо правильну нерівність.

Якщо a < b і c < d, а + c < b + d.

Властивість 7. 

Якщо почленно перемножити правильні нерівності однакового знака, ліві й праві частини яких — додатні числа, залишивши при цьому їхній спільний знак, то одержимо правильну нерівність.

a < b і c < d, де abc і d — додатні числа, ас < bd.

Якщо a < bа і b — додатні числа, n — натуральне число, то an < bn.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *