Відстань від точки до площини дорівнює16 см. Знайти довжину похилої, якщо вона утворює з площиною кут 30.

Якщо відстань від точки до площини дорівнює 16 см, а кут між похилою і площиною становить 30°, то можемо використати трикутник, утворений відстанню, похилій і куту.

Застосовуємо тригонометрію: Довжина похилої = відстань / sin(30°) = 16 см / 0.5 = 32 см.

Отже, довжина похилої становить 32 см.

ABCDА1B1C1D1 – правильна 4-кутна призма, тт. О і О1 – центри її основ. Визначити відповідності між перетвореннями та точками.

в яку точку переходить точка В при симетрії відносно прямої ОО1 → D, в яку точку переходить точка С при повороті навколо прямої ОО1 на кут 90о проти годинникової стрілки → B, в яку точку переходить точка А при паралельному перенесенні на вектор СС1
→ А1

Нехай дана точка A(1; –4; 3). Відстань від точки А до площини yOz дорівнює

Щоб знайти відстань від точки A(1; –4; 3) до площини yOz, ми можемо проекцію вектора АО на площину yOz, де О – початок координат.

Проекція вектора АО на площину yOz буде дорівнювати перпендикулярній відстані від точки А до площини, яка обчислюється за формулою:

d = |Ax|,

де Ax – координата x точки A.

У цьому випадку, координата x точки A(1; –4; 3) дорівнює 1.

Отже, відстань від точки A до площини yOz дорівнює |1| = 1 одиниці.

Яка з точок є серединою відрізка АВ, якщо А(0; 1; –2), а В(2; –2; 1)?

Щоб знайти середину відрізка АВ, можна обчислити середнє арифметичне координат точок А і В. Це дасть нам координати середини відрізка.

Координати точки А(0; 1; –2) відповідають (x₁, y₁, z₁) = (0, 1, –2), а координати точки В(2; –2; 1) відповідають (x₂, y₂, z₂) = (2, –2, 1).

Середина відрізка має координати, що обчислюються як середнє арифметичне відповідних координат:

x = (x₁ + x₂) / 2, y = (y₁ + y₂) / 2, z = (z₁ + z₂) / 2.

Підставляємо значення:

x = (0 + 2) / 2 = 1, y = (1 + (-2)) / 2 = -0.5, z = (-2 + 1) / 2 = -0.5.

Отже, точка з координатами (1, -0.5, -0.5) є серединою відрізка АВ.

Нехай дана точка A(1; –4; 3). Яка відстань від точки А до площини хOу?

Щоб знайти відстань від точки A(1; –4; 3) до площини хОу, ми можемо скористатись формулою для відстані між точкою і площиною у тривимірному просторі.

Відстань d від точки до площини можна обчислити за формулою:

d = |Ax + By + Cz + D| / √(A² + B² + C²),

де (x, y, z) – координати точки A, та Ax + By + Cz + D = 0 – рівняння площини.

У цьому випадку, площина хОу має рівняння z = 0, тобто A = 0, B = 0, C = 1, D = 0.

Підставляємо ці значення у формулу:

d = |0 * 1 + 0 * (-4) + 1 * 3 + 0| / √(0² + 0² + 1²) = |3| / 1 = 3.

Отже, відстань від точки A(1; –4; 3) до площини хОу дорівнює 3 одиницям.

Знайти відстань між точками А(–1; 2; 2) та В(–2; 1; 4).

Щоб знайти відстань між точками А(–1; 2; 2) та В(–2; 1; 4), ми можемо використати формулу відстані між двома точками у тривимірному просторі.

Відстань d між двома точками (x₁, y₁, z₁) та (x₂, y₂, z₂) обчислюється за формулою:

d = √[(x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)² + (z₂ – z₁)²].

У даному випадку, координати точки А(–1; 2; 2) відповідають (x₁, y₁, z₁) = (–1, 2, 2), а координати точки В(–2; 1; 4) відповідають (x₂, y₂, z₂) = (–2, 1, 4).

Підставляємо ці значення у формулу:

d = √[(-2 – (-1))² + (1 – 2)² + (4 – 2)²] = √[(-2 + 1)² + (-1)² + (2)²] = √[1 + 1 + 4] = √6.

Отже, відстань між точками А(–1; 2; 2) та В(–2; 1; 4) дорівнює √6.

Дано коло, КH – його діаметр, К(0; –3; 1) та H (–2; 1; 1). Знайти радіус цього кола.

Щоб знайти радіус кола, необхідно знайти половину довжини його діаметра.

Діаметр кола можна знайти, використовуючи координати точок K(0; –3; 1) і H(–2; 1; 1).

Вектор DH, що йде від точки D(0; –3; 1) (початку діаметра) до точки H(–2; 1; 1) (кінця діаметра), можна знайти, віднявши координати точки D від координат точки H:

DH = H – D = (–2 – 0, 1 – (-3), 1 – 1) = (-2, 4, 0).

Половина довжини діаметра буде дорівнювати половині довжини вектора DH.

Тому, радіус кола буде рівний:

Радіус = |DH| / 2 = sqrt((-2)^2 + 4^2 + 0^2) / 2 = sqrt(4 + 16 + 0) / 2 = sqrt(20) / 2 = sqrt(5).

Отже, радіус цього кола дорівнює sqrt(5).

Знайти відстань від початку координат до точки А(1; –2; 3).

Щоб знайти відстань від початку координат до точки А(1; –2; 3), ми можемо використати формулу відстані між двома точками у тривимірному просторі.

Відстань d між двома точками (x₁, y₁, z₁) та (x₂, y₂, z₂) обчислюється за формулою:

d = √[(x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)² + (z₂ – z₁)²].

У даному випадку, координати початку координат (0, 0, 0) і точки А(1; –2; 3) відповідають відповідно (x₁, y₁, z₁) = (0, 0, 0) і (x₂, y₂, z₂) = (1, –2, 3).

Підставляємо ці значення у формулу:

d = √[(1 – 0)² + (-2 – 0)² + (3 – 0)²] = √[1² + (-2)² + 3²] = √[1 + 4 + 9] = √14.

Отже, відстань від початку координат до точки А(1; –2; 3) дорівнює √14.

Дано SO⊥ (ABO), SA i SB – похилі, SO = a,  ∠AOB = 90,  ∠SAO = 60, ∠SBO = 45

Дано SO⊥ (ABO), SA i SB – похилі, SO = a,  ∠AOB = 90,  ∠SAO = 60, ∠SBO = 45

Користуючись зображенням, встановіть відповідність між відрізками 1) – 5) та їх значеннями а) – е)

a) a/3; б) 3a/3; в)a; г) a2; д) 2a3/3; є) а/2; е) 2а/3

відстань між прямими SO і АВ = a/2

довжина похилої SB = a2

відстань між основами похилих 2a/3

проєкція похилої SA на площину АОВ = a/3

проєкція похилої SB на площину АОВ = a

 5) відстань між прямими SO і АВ = → є), 3) довжина похилої SB = → г), 4) відстань між основами похилих = → д), 1) проєкція похилої SA на площину АОВ = → а), 2) проєкція похилої SB на площину АОВ = → в)

Дано куб АВСDА1В1С1Dз ребром а см. В1D – діагональ куба, точка О – точка перетину діагоналей основи. Знайдіть відстань між ВD і СС1.

Дано куб АВСDА1В1С1Dз ребром а см. В1D – діагональ куба, точка О – точка перетину діагоналей основи. Знайдіть відстань між ВD і СС1.

OC = 1/2AC =( a√2)/2