Складіть рівняння прямої, яка паралельна прямій у = 5х – 9 і проходить через центр кола х2 + у2 – 6х + 2у + 6 = 0.

Складіть рівняння прямої, яка паралельна прямій у = 5х – 9 і проходить через центр кола х2 + у2 – 6х + 2у + 6 = 0.

(x-3)2 + (y+1)2 = 4

Центр кола (3; -1)

-1 = 5*3 + d; d = -16

y = 5x – 16

Відповідь: y = 5x – 16

Обчисліть периметр і діагоналі чотирикутника ABCD, якщо А (–2; 2), В (0; 4), С (2; 2), D (0; 0).

Обчисліть периметр і діагоналі чотирикутника ABCD, якщо А (–2; 2), В (0; 4), С (2; 2), D (0; 0).

\( AB = \sqrt{(0+2)^2 + (4-2)^2} = \sqrt{8} \)
\( BC = \sqrt{(2- 0)^2 + (2-4)^2} = \sqrt{8} \)
\( CD = \sqrt{(0- 2)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{8} \)
\( AD = \sqrt{(0+2)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{8} \)

Отже ABCD – квадрат.

\( P = 4\sqrt{8} = 8 \sqrt{2}\)
\( AC = \sqrt{(2+2)^2 + (2-2)^2} = 4 \)
Відповідь: \( P = 8\sqrt{2} \), діагональ 4

Знайдіть координати точок перетину кола (х – 2)2 + (у – 4)2 = 2 з прямою х = 3.

Знайдіть координати точок перетину кола (х – 2)2 + (у – 4)2 = 2 з прямою х = 3.

(3 – 2)2 + (у – 4)2 = 2

(у – 4)2 = 1

y1 = 5; y2 = 3

Відповідь: (3; 3) і (3; 5)

Обчисліть значення виразу tg 2 α – sin 2 α· tg 2 α, якщо sinα = 0,5.

Обчисліть значення виразу tg2α – sin2α· tg2α, якщо sinα = 0,5.

tg2α – sin2α· tg2α = tg2α (1 – sin2α ) = tg2α * cos2α = sin2α = 0,52 = 0,25

Відповідь: 0,25

Чи є чотирикутник ABCD з вершинами в точках A (3; -7), B (2; 4), С(-5; 1), D (-4; -10) паралелограмом?

Чи є чотирикутник ABCD з вершинами в точках A (3; -7), B (2; 4), С(-5; 1), D (-4; -10) паралелограмом?

У паралелограма протилежні сторони рівні и паралельні. Тобто вектор АВ = DC

Знайдемо координати векторів АВ та DC

\[\overline{AB} = (x_2-x_1; y_2-y_1) \]
\[\overline{AB} = (2-3; 4+7) = (-1;11)\]
\[\overline{DC} = (-5+4; 1+10) = (-1;11)\]

Так як вектори рівні, це паралелограм

Відповідь: так

Дано точки A(1; 5), B(-3; 8), C(-4; 8), K(x; y) Знайдіть x та y, якщо AB = CK

Дано точки A(1; 5), B(-3; 8), C(-4; 8), K(x; y) Знайдіть x та y, якщо вектори AB = CK

Знайдемо координати вектора AB

\[\overline{AB} = (x_2-x_1; y_2-y_1)\]
\[\overline{AB} = (-3-1; 8-5) = (-4; 3) \]
\[ \overline{CK} : x + 4 = -4, x= – 8, y – 8 = 3, y = 11 \]

Відповідь: K (-8; 11)

Модуль вектора a(-15, y) дорівнює 17. Знайдіть y, урахувавши, що y >0

Модуль вектора a(-15, y) дорівнює 17. Знайдіть y, урахувавши, що y >0

Модуль вектора обчислюється за формулою

\[|\overline{a}|=\sqrt{x^2+y^2}\]

Звідси:

\[|\overline{17}|=\sqrt{(-15)^2+y^2}\]

289 = 225 + у2

у = 8

Відповідь: 8

Вектори

Вектори називаються рівними, якщо вони співнапрямлені й мають
рівні довжини.

Якщо два вектори мають рівні модулі, але протилежні напрями, то їх
називають протилежними векторами

Вектор, у якого початок і кінець збігаються, називають нуль-вектором

Довжиною, або модулем, вектора називають відстань між його початком і кінцем.

Вектор, який має довжину 1, називають одиничним вектором.

Модуль вектора обчислюється за формулою

\[|\overline{a}|=\sqrt{x^2+y^2}\]

Координати вектора:

\[\overline{AB} = (x_2-x_1; y_2-y_1) \]
Сумою векторів \(\overline a ({a_1};{a_2}) \) і \(\overline b ({b_1};{b_2}),\) називається вектор \( \overline c ({c_1};{c_2}) {c_1} = {a_1} + {b_1},{c_2} = {a_2} + {b_2} \)

Скалярний добуток векторів

Скалярним добутком двох ненульових векторів називається число, що дорівнює добутку їх довжин на косинус кута між ними.

\(\overline{a} \cdot \overline{b} = \left| \overline{a} \right| \cdot \left| \overline{b} \right| \cdot \cos \angle \left( \overline{a} ; \overline{b} \right)\)

Скалярним добутком \( \overline{a} \cdot \overline{b} \) векторів \(\overline{a} \left( a_{1} ; a_{2} \right)\) називається число \(\overline{a} \cdot \overline{b} =a_{1} \cdot b_{1} + a_{2} \cdot b_{2}. \)
\(\cos \angle \left( \overline{a} ; \overline{b} \right) = \frac{\overline{a} \cdot \overline{b}}{\left| \overline{a} \right| \cdot \left| \overline{b} \right|}; \)
\(\cos \angle \left( \overline{a} ; \overline{b} \right) = \frac{a_{1} \cdot b_{1} + a_{2} \cdot b_{2}}{\sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2}} \cdot \sqrt{b_{1}^{2} + b_{2}^{2}}}. \)

Cкалярний добуток двох ненульових векторів дорівнює нулю тоді й тільки тоді, коли ці вектори перпендикулярні

Середини сторін трикутника АВС містяться в точках А1 (1; 2), В1 (8; 26), С1 (19; 26). Які координати мають вершини трикутника?

Середини сторін трикутника АВС містяться в точках А1 (1; 2), В1 (8; 26), С1 (19; 26). Які координати мають вершини трикутника?

XA + XB = 2 YA + YB = 4

XC + XB = 16 YC + YB = 52

XA + XC = 38 YA + YC = 52

Відповідь: (-8;2), (-10; 2) (26; 50)