Достатня умова зростання функції
Якщо в кожній точці інтервалу (a; b) f'(x)>0 , то функція f(x) зростає на цьому інтервалі
Достатня умова спадання функції
Якщо в кожній точці інтервалу (a; b) f'(x)<0, то функція f(x) спадає на цьому інтервалі
Необхідна і достатня умова сталості функції
Функція f(x) є сталою на інтервалі (a; b) тоді і тільки тоді, коли f'(x) = 0 в усіх точках цього інтервалу.
Нагадаємо, що функція f(x) називається зростаючою на множині Р, якщо більшому значенню аргументу із цієї множини відповідає більше значення функції, тобто для будь-яких x1 і x2 із цієї множини з умови x2 > x1 випливає, що f(x2) > f(x1).
Функція f(x) називається спадною на множині P, якщо більшому значенню аргументу із цієї множини відповідає менше значення функції, тобто для будь-яких x1 і x2 із цієї множини з умови x2 > x1 випливає, що f(x2) < f(x1).
Теорема 22.2 (ознака зростання функцій). Якщо для всіх х із проміжку І виконується нерівність f'(x)>0 , то функція f зростає на цьому проміжку.
Теорема 22.3 (ознака спадання функцій). Якщо для всіх х із проміжку І виконується нерівність f'(x)<0, то функція f спадає на цьому проміжку.
Якщо функція f(x) неперервна на відрізку [a; b] і диференційована в усіх точках інтервалу (a; b), то на інтервалі (a; b) знайдеться така точка c ∈ (a; b), що
Теорема 22.1 (ознака сталої функції). Якщо для всіх x із проміжку I виконується рівність f'(x)=0, то функція f є константою на цьому проміжку.
Екстремуми функції
Функція f(x) є сталою на інтервалі (a; b) тоді й тільки тоді, коли f ′(x) = 0 в усіх точках цього інтервалу.
Критичними точками функції називаються внутрішні точки її області визначення, в яких похідна функції дорівнює нулю або не існує.
Роль критичних точок – тільки вони можуть бути точками екстремуму функції.