Завдання на нерівності

Чи є правильним твердження:

а) якщо а > 2 і b > 7, то а + b > 9; Так
б) якщо а > 2 і b > 7, то аb > 13; Так
в) якщо а > 2 і b > 7, то b – a > 5; Ні
г) якщо а < 2, то а2 < 4; Ні


Відомо, що числа a і b — додатні, а також а < 3, b < 6. Доведіть, що ab < 20.

ab < 3•6, або ab < 18. Якщо ab < 18, а 18 < 20, то  ab < 20, що і треба було довести.


Доведіть, що

\[\sqrt {24}  + \sqrt {47}  < 12 \]
\[\sqrt {24}  + \sqrt {47}  < 5 + 7 = 12 \]


Відомо, що 4 < x < 5 і 8 < y < 10. Оцініть значення виразу:
а) 2х – у;
б) 0,5ху;

а) –2 < 2х – у < 2;

б) 16 < 0,5ху < 25

6 карасів важчі за 10 лящів, але легші за 5 окунів. 10 лящів важчі за 8 окунів. Що важче — 2 карасі чи 3 лящі?

6 карасів важчі за 10 лящів, але легші за 5 окунів. 10 лящів важчі за 8 окунів. Що важче — 2 карасі чи 3 лящі?

Відповідь: 2 карасі

Приклади на доведення нерівностей

Довести нерівність (m+n)(mn +1) ≥ 4mn, де m ≥ 0, n ≥ 0.

Використаємо формулу:

\[ {a +b \over 2} ≥ \sqrt{ab} \]
\[ {m +n \over 2} ≥ \sqrt{mn} \] \[ {mn +1 \over 2} ≥ \sqrt{mn} \]
\[ 2\sqrt{mn}* 2\sqrt{mn} ≥ 4\sqrt{mn}\sqrt{mn} ≥ 4mn \]

Довести нерівність (a+3)(b+27)(a+b) ≥ 72ab, якщо a≥0, b≥0, c≥0.

\[ {a +3 \over 2} ≥ \sqrt{3a}, {b +27 \over 2} ≥ \sqrt{27b}, {a +b \over 2} ≥ \sqrt{ab} \]
\[ 2\sqrt{3a} *2 \sqrt{27b}*2 \sqrt{ab} ≥ 8 * 9 * ab ≥ 72ab \]

У чотириповерховому будинку Василько живе вище Петрика, але нижче Семена, а Панас живе нижче Петрика. На якому поверсі живе Василько?

У чотириповерховому будинку Василько живе вище Петрика, але нижче Семена, а Панас живе нижче Петрика. На якому поверсі живе Василько?

Відповідь: на 3 поверсі

Дано чотири послідовні натуральні числа. Що більше — добуток най меншого і найбільшого з цих чисел чи добуток середніх чисел?

Алгебра Кравчук 9 клас завдання 28

Дано чотири послідовні натуральні числа. Що більше — добуток найменшого і найбільшого з цих чисел чи добуток середніх чисел?

Нехай a, b, c, d — послідовні натуральні числа

Треба порівняти

ad і bc

b = a+1, c = a+2, d = a+3

a(a+3) і (a+1)(a+2)

Знайдемо різницю a(a+3) і (a+1)(a+2)

a(a+3) — (a+1)(a+2) = a2 + 3a — ( a2 +2a +a +2) = a2 + 3a — ( a2 + 3a +2) = -2

Отже добуток середніх чисел більший за добуток найменшого і найбільшого

Дано три послідовні натуральні числа. Що більше — подвоєний квадрат середнього з цих чисел, чи сума квадратів двох інших?

Алгебра Кравчук 9 клас завдання 29

Дано три послідовні натуральні числа. Що більше — подвоєний квадрат середнього з цих чисел, чи сума квадратів двох інших?

Нехай a, b, c — три послідовні натуральні числа.

Тоді a = b-1, c=b+1

Треба порівняти 2b2 і (а2 + с2 )

Знайдемо різницю

2b2 — (а2 + с2 )

2b2 — ( ( b-1 )2 + (b+1) 2 )

2b2 — ( b2 — 2b +1 + b2 +2b +1)

2b2 — 2b2 — 2 = — 2

Отже сума квадратів більша за подвоєний квадрат середнього з чих чисел

Числові нерівності

число a більше від числа b, якщо різниця a – b — додатне число;
число а менше від числа b, якщо різниця a – b — від’ємне число;
число а дорівнює числу b, якщо різниця – b дорівнює нулю.

Для довільних чисел а і b виконується одне, і тільки одне, із трьох співвідношень:
a > ba < b або a = b.

Для порівняння двох чисел а і b досить утворити різницю a – b і з’ясувати, є вона додатним числом, від’ємним числом чи нулем. Якщо a – b > 0,
то a > b; якщо a – b < 0, то a < b; якщо a – b = 0, то a = b.

Нерівності, складені за допомогою знаків < або >, називають строгими нерівностями, а нерівності, складені за допомогою знаків  або  — нестрогими нерівностями.


Порівняти числа m і n, якщо:

а) m – 3 = n – 2;

Оскільки m – 3 = n – 2, то:

m – n = 3 – 2;

m – n = 1.

Різниця m – n є додатною, тому m > n.

б) m = 1,1n і n < 0.

m – n = 1,1n – n = 0,1n.

Оскільки n < 0, то різниця m – n є від’ємною, тому m < n.


Порівняємо числа

\(3\over 7\) та \(9\over 22\)

Для цього знайдемо їх різницю:

\(3\over 7 \) — \(9\over 22 \) = \(3*22 — 7*9 \over 22 \) = \(3\over 7*22 \)

Різниця даних чисел — число додатне, тому

\(3\over 7\) >\(9\over 22\)

Основні властивості числових нерівностей

Властивість 1. Якщо a > b, то b < a.

Властивість 2. Якщо a < b і b < c, то а c і якщо a > b і b > c, то   a> c.

Властивість 3. Якщо до обох частин правильної нерівності додати одне й те саме число, то одержимо правильну нерівність.

a < b і с — будь-яке число, a + с b + с.

Якщо деякий доданок перенести з однієї частини правильної нерівності в іншу, змінивши при цьому знак доданка на протилежний, то отримаємо правильну нерівність.

 а < b + c — правильна нерівність, а + (–с) < b + c + (–с) , а – с < b

Отже, якщо перенести доданок с у ліву частину нерівності, змінивши його знак на протилежний, то одержимо правильну нерівність.

Властивість 4. Якщо обидві частини правильної нерівності помножити або поділити на одне й те саме додатне число, то одержимо правильну нерівність.

Якщо обидві частини правильної нерівності помножити або поділити на одне й те саме від’ємне число і змінити знак нерівності на протилежний, то одержимо правильну нерівність.

a < b,

 < , якщо с — додатне число,

 > , якщо с — від’ємне число.

Властивість 5

Якщо а і b — додатні числа й а < b, то

\[\frac{1}{a} > \frac{1}{b} \]

Властивість 6

Якщо почленно додати правильні нерівності одного знака, залишивши їхній спільний знак, то одержимо правильну нерівність.

Якщо a < b і c < d, а + c < b + d.

Властивість 7. 

Якщо почленно перемножити правильні нерівності однакового знака, ліві й праві частини яких — додатні числа, залишивши при цьому їхній спільний знак, то одержимо правильну нерівність.

a < b і c < d, де abc і d — додатні числа, ас < bd.

Якщо a < bа і b — додатні числа, n — натуральне число, то an < bn.