Похідна

Похідною функції f у точці x0 називають число, що дорівнює границі відношення приросту функції f у точці x0 до відповідного приросту аргументу за умови, що приріст аргументу прямує до нуля.

\(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f({x_0} + \Delta x) – f({x_0})}}{{\Delta x}}\)
\(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta f}}{{\Delta x}}\)

Знаходження похідної функції f називають диференціюванням функції f.

Для функції у = 10х – 1 знайти Δх і Δу, якщо х0 = 1, х = 1,2.

\(\Delta x = x – {x_0}\) \(\Delta f = f({x_0} + \Delta x) – f\left( {{x_0}} \right)\)

Δу = у(х0 + Δх) – у(х0) = у(х) – у(х0)

Δх = 1,2 – 1 = 0,2;

Δу = у(1,2) – у(1) = 10×1,2 – 1 – 10×1 + 1 = 12 – 10 = 2.

Для функції у = 10х – 1 знайти у/:

\(y’ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f({x_0} + \Delta x) – f({x_0})}}{{\Delta x}}\)\(\begin{gathered} y’ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{10({x_0} + \Delta x) – 1 – 10 \cdot {x_0} + 1}}{{\Delta x}} = \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{10{x_0} + 10\Delta x – 10{x_0}}}{{\Delta x}} = \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{10\Delta x}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} 10 = 10 \Rightarrow y’ = 10. \hfill \\ \end{gathered} \)

Геометричний зміст похідної та рівняння дотичної до графіка функції y = f (x)

Значення похідної в точці х0 дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до графіка функції в точці з абсцисою х0 і дорівнює кутовому коефіцієнту цієї дотичної.

\(f'({x_0}) = tg\varphi\) k – кутовий коефіцієнт дотичної \(k = tg\varphi = f'({x_0})\) \(y = f({x_0}) + f'({x_0})(x – {x_0})\) рівняння дотичної до графіка функції y = f(x) у точці з абсцисою х0

Похідна характеризує швидкість зміни функції при зміні аргументу

Зокрема, похідна за часом є мірою швидкості зміни відповідної функції, що може застосовуватися до найрізноманітніших фізичних величин.

Наприклад, миттєва швидкість  нерівномірного прямолінійного руху є похідна функції, що виражає залежність пройденого s шляху від часу t.

Зв’язок між диференційованістю  і неперервністю функції

Якщо функція f(x) диференційована в точці х0, то вона неперервна в цій точці.

Якщо функція f(x) диференційована на проміжку (тобто в кожній його точці), то вона неперервна на цьому проміжку.

Похідні деяких елементарних функцій

\(\begin{gathered} c’ = 0 \hfill \\ (c -стала) \hfill \\ \end{gathered} \) \((x)’ = 1\) \(({x^n})’ = n{x^{n – 1}}\)
\(\begin{gathered} (\frac{1}{x})’ = – \frac{1}{{{x^2}}} \hfill \\ (x \ne 0) \hfill \\ \end{gathered} \)
\(\begin{gathered} (\sqrt x )’ = \frac{1}{{2\sqrt x }} \hfill \\ (x > 0) \hfill \\ \end{gathered} \)

Правила диференціювання

ПравилоПриклад
Сталий множник можна виносити за знак похідної
\((cu)’ = cu’\)		\((5{x^3})’ = 5({x^3})’ = 5 \cdot 3{x^{3 – 1}} = 15{x^2}\)
Похідна суми диференційованих функцій дорівнює сумі їх похідних
\((u + \nu )’ = u’ + \nu ‘\)
\((u\nu )’ = u’\nu + \nu ‘u\)\(\begin{gathered}
((x + 2){x^2})’ = (x + 2)'{x^2} + ({x^2})'(x + 2) = \hfill \
= (x’ + 2′){x^2} + 2x(x + 2) = \hfill \
= (1 + 0){x^2} + 2x(x + 2) = 3{x^2} + 4x \hfill \
\end{gathered}\)
\((\frac{u}{\nu })’ = \frac{{u’\nu – \nu ‘u}}{{{\nu ^2}}}\)\((\frac{1}{x})’ = \frac{{1′ \cdot x – x’ \cdot 1}}{{{x^2}}} = \frac{{0 \cdot x – 1 \cdot 1}}{{{x^2}}} = \frac{{ – 1}}{{{x^2}}} = – \frac{1}{{{x^2}}}\)

Похідна складеної функції (функції від функції)

Якщо y = f(u) і u = u(x)

\(y = f(u(x))\)
\((f(u(x)))’ = {f’_u}(u) \cdot {u’_x}(x).\)
\({y’_x} = {f’_u} \cdot {u’_x}\)
\(\begin{gathered} ({(3x – 1)^5})’ = 5{(3x – 1)^4}(3x – 1)’ = \hfill \\ = 5{(3x – 1)^4}((3x)’ – 1′) = \hfill \\ = 5{(3x – 1)^4}(3 – 0) = 15{(3x – 1)^4}. \hfill \\ \end{gathered}\)

Похідні деяких елементарних функцій

(sinx)’ = cosx

(cosx)’ = – sinx

\((tgx)’ = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\)
\((ctgx)’ = – \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\)
\(c’ = 0\)
\((x)’ = 1\)
\(({x^n})’=n{x^{n – 1}}\)
\((\sqrt x )’ = \frac{1}{{2\sqrt x }}\) \((x > 0)\)
\((\sqrt[n]{x})’ = \frac{1}{{n\sqrt[n]{{{x^{n – 1}}}}}}\) на ОДЗ правої частини формули
\((\frac{1}{x})’ = – \frac{1}{{{x^2}}}\) \((x \ne 0)\)

Похідна суми, добутку, частки функцій

Правила диференціювання:

(cu)’ = cu’

Сталий множник можна виносити за знак похідної:

(u + v)’ = u’ + v’

Похідна суми диференційованих функцій дорівнює сумі їх похідних:

(uv)’ = u’v + v’u

\((\frac{u}{v})’ = \frac{{u’v – v’u}}{{{v^2}}}\)
Похідна складеної функції

Приклад. Нехай треба обчислити за заданим значенням x  зна­чення функції у, що задана формулою:  

\(y = \;\sqrt {9 – {x^2}} \)

Для цього спочатку треба обчислити за заданим значенням х значення u = g(x) = 9 – x2, а потім за значенням u обчислити:

у = f(u) =\(\sqrt u \)

Отже, функція g ставить у відповідність числу x число u, а функ­ція f – числу u число у. Говорять, що у є складеною функцією із функцій g і f, і пишуть у = f(g(x))·

Функцію g(x) називають внутрішньою функцією, або проміж­ною змінною, функцію f(u) – зовнішньою функцією. Отже, щоб обчислити значення складеної функції у = f(g(x)) у довільній точ­ці х, спочатку обчислюють значення u внутрішньої функції g, а потім f(u).

Приклади

Знайти похідну y = x3sin x

y‘  = x3‘ + x3 sin x‘ = 3x2 sinx + x3 cosx = x2 (3sinx + cosx)

Знайти похідну складеної функції y = (3x3 – 1)5.

 y ` = 5(3x3 – 1)4 (3x3-1)` = 5(3x3 – 1)4 (9x2 – 0) = 45x2 (3x3 – 1)4