Алгебра – Легка школа

Виразити через m та n log15 1225

log₁₅1225

m=log₃5, n = log₃7

log₁₅1225 =

$ log_{15}{1225} = \frac{log_{3}{1225}}{log_{3}{15}} = \frac{2log_{3}{5}+2log_{3}{7}}{log_{3}{5}+1} = \frac{2(m+n)}{1+m}$

Обчислити значення виразу log15 16log16 17log17 18*log18 225

log₁₅16*log₁₆17*log₁₇18*log₁₈225 =

$=\frac{log_{16}{17}}{log_{16}{15}}*\frac{log_{18}{225}}{log_{18}{17}} = log_{15}{17}*log_{17}{225} = \frac{log_{17}{225}}{log_{17}{15}} =log_{15}{225} = 2 $

Формули

$\log_{a}{b} = \frac{1}{\log_{b}{a}}.$

$ {\log_{a}{b} = \frac{\log_{c}{b}}{\log_{c}{a}}}.$

Відповідь: 2

Похідна

Похідною функції f у точці x₀називають число, що дорівнює границі відношення приросту функції f у точці x₀ до відповідного приросту аргументу за умови, що приріст аргументу прямує до нуля.

$f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f({x_0} + \Delta x) – f({x_0})}}{{\Delta x}}$

$f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta f}}{{\Delta x}}$

Знаходження похідної функції f називають диференціюванням функції f.

Для функції у = 10х – 1 знайти Δх і Δу, якщо х0 = 1, х = 1,2.

$\Delta x = x – {x_0}$ $\Delta f = f({x_0} + \Delta x) – f\left( {{x_0}} \right)$

Δу = у(х₀ + Δх) – у(х₀) = у(х) – у(х₀)

Δх = 1,2 – 1 = 0,2;

Δу = у(1,2) – у(1) = 10×1,2 – 1 – 10×1 + 1 = 12 – 10 = 2.

Для функції у = 10х – 1 знайти у^/:

$y’ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f({x_0} + \Delta x) – f({x_0})}}{{\Delta x}}$$\begin{gathered} y’ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{10({x_0} + \Delta x) – 1 – 10 \cdot {x_0} + 1}}{{\Delta x}} = \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{10{x_0} + 10\Delta x – 10{x_0}}}{{\Delta x}} = \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{10\Delta x}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} 10 = 10 \Rightarrow y’ = 10. \hfill \\ \end{gathered} $

Геометричний зміст похідної та рівняння дотичної до графіка функції y = f (x)

Значення похідної в точці х₀дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до графіка функції в точці з абсцисою х₀і дорівнює кутовому коефіцієнту цієї дотичної.

$f'({x_0}) = tg\varphi$ k – кутовий коефіцієнт дотичної $k = tg\varphi = f'({x_0})$ $y = f({x_0}) + f'({x_0})(x – {x_0})$ рівняння дотичної до графіка функції y = f(x) у точці з абсцисою х0

Похідна характеризує швидкість зміни функції при зміні аргументу

Зокрема, похідна за часом є мірою швидкості зміни відповідної функції, що може застосовуватися до найрізноманітніших фізичних величин.

Наприклад, миттєва швидкість нерівномірного прямолінійного руху є похідна функції, що виражає залежність пройденого s шляху від часу t.

Зв’язок між диференційованістю і неперервністю функції

Якщо функція f(x) диференційована в точці х₀, то вона неперервна в цій точці.

Якщо функція f(x) диференційована на проміжку (тобто в кожній його точці), то вона неперервна на цьому проміжку.

Похідні деяких елементарних функцій

$\begin{gathered} c’ = 0 \hfill \\ (c -стала) \hfill \\ \end{gathered} $ $(x)’ = 1$ $({x^n})’ = n{x^{n – 1}}$

$\begin{gathered} (\frac{1}{x})’ = – \frac{1}{{{x^2}}} \hfill \\ (x \ne 0) \hfill \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} (\sqrt x )’ = \frac{1}{{2\sqrt x }} \hfill \\ (x > 0) \hfill \\ \end{gathered} $

Правила диференціювання

Правило	Приклад
Сталий множник можна виносити за знак похідної $(cu)’ = cu’$	$(5{x^3})’ = 5({x^3})’ = 5 \cdot 3{x^{3 – 1}} = 15{x^2}$
Похідна суми диференційованих функцій дорівнює сумі їх похідних $(u + \nu )’ = u’ + \nu ‘$	$(x + \sqrt{x})^{'} = (x)^{'} + (\sqrt{x})^{'} = 1 + \frac{1}{2 \sqrt{x}}$
$(u\nu )’ = u’\nu + \nu ‘u$	$\begin{gathered} ((x + 2){x^2})’ = (x + 2)'{x^2} + ({x^2})'(x + 2) = \hfill \ = (x’ + 2′){x^2} + 2x(x + 2) = \hfill \ = (1 + 0){x^2} + 2x(x + 2) = 3{x^2} + 4x \hfill \ \end{gathered}$
$(\frac{u}{\nu })’ = \frac{{u’\nu – \nu ‘u}}{{{\nu ^2}}}$	$(\frac{1}{x})’ = \frac{{1′ \cdot x – x’ \cdot 1}}{{{x^2}}} = \frac{{0 \cdot x – 1 \cdot 1}}{{{x^2}}} = \frac{{ – 1}}{{{x^2}}} = – \frac{1}{{{x^2}}}$

Похідна складеної функції (функції від функції)

Якщо y = f(u) і u = u(x)

$y = f(u(x))$

$(f(u(x)))’ = {f’_u}(u) \cdot {u’_x}(x).$

${y’_x} = {f’_u} \cdot {u’_x}$

$\begin{gathered} ({(3x – 1)^5})’ = 5{(3x – 1)^4}(3x – 1)’ = \hfill \\ = 5{(3x – 1)^4}((3x)’ – 1′) = \hfill \\ = 5{(3x – 1)^4}(3 – 0) = 15{(3x – 1)^4}. \hfill \\ \end{gathered}$

Похідні деяких елементарних функцій

(sinx)’ = cosx

(cosx)’ = – sinx

$(tgx)’ = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}$

$(ctgx)’ = – \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}$

$c’ = 0$

$(x)’ = 1$

$({x^n})’=n{x^{n – 1}}$

$(\sqrt x )’ = \frac{1}{{2\sqrt x }}$ $(x > 0)$

$(\sqrt[n]{x})’ = \frac{1}{{n\sqrt[n]{{{x^{n – 1}}}}}}$ на ОДЗ правої частини формули

$(\frac{1}{x})’ = – \frac{1}{{{x^2}}}$ $(x \ne 0)$

Похідна суми, добутку, частки функцій

Правила диференціювання:

(cu)’ = cu’

Сталий множник можна виносити за знак похідної:

(u + v)’ = u’ + v’

Похідна суми диференційованих функцій дорівнює сумі їх похідних:

(uv)’ = u’v + v’u

$(\frac{u}{v})’ = \frac{{u’v – v’u}}{{{v^2}}}$

Похідна складеної функції

Приклад. Нехай треба обчислити за заданим значенням x значення функції у, що задана формулою:

$y = \;\sqrt {9 – {x^2}} $

Для цього спочатку треба обчислити за заданим значенням х значення u = g(x) = 9 – x², а потім за значенням u обчислити:

у = f(u) =$\sqrt u $

Отже, функція g ставить у відповідність числу x число u, а функція f – числу u число у. Говорять, що у є складеною функцією із функцій g і f, і пишуть у = f(g(x))_·

Функцію g(x) називають внутрішньою функцією, або проміжною змінною, функцію f(u) – зовнішньою функцією. Отже, щоб обчислити значення складеної функції у = f(g(x)) у довільній точці х, спочатку обчислюють значення u внутрішньої функції g, а потім f(u).

Приклади

Знайти похідну y = x³sin x

y‘ = x³‘ + x³ sin x‘ = 3x² sinx + x³ cosx = x² (3sinx + cosx)

Знайти похідну складеної функції y = (3x³– 1)⁵.

y ` = 5(3x³ – 1)⁴ (3x³-1)` = 5(3x³ – 1)⁴ (9x² – 0) = 45x² (3x³ – 1)⁴

Укажіть проміжки неперервності функції f, зображеної на малюнку.

Відповідь: (-∞; 0 ) ∪ (0;1) ∪(1;∞)

Знайдіть приріст функції f(x), графік якої зображено на малюнку, на відрізку [1; 4].

Відповідь: 4

Знайдіть приріст функції f(x) = х – 1, якщо х₀= 1, Δх = 0,1.

$\Delta f = f({x_0} + \Delta x) – f({x_0})$

$\Delta f = f(1+ 0,1) – f(1)$

$\Delta f =1,1-1 – 0$

Відповідь: 0,1

Знайдіть приріст функції f(x) = 3х –1 на відрізку [0;5].

Знайдіть приріст функції f(x) = 3х –1 на відрізку [0;5].

$\Delta f = f({x_0} + \Delta x) – f({x_0})$

$\Delta f = f(0+5) – f(0)$

$\Delta f = 14+1$

Відповідь: 15

Знайдіть sinβ якщо ctgβ = √8

Знайдіть sinβ якщо ctgβ = √8, а cosβ = √8/3

sinβ = 1/3

Вкажіть нулі функції y = 2sin x.

x=πk , k∈ Z

Тригонометричні формули

$sin^{2}a + cos^{2}a = 1$

$\sin \alpha = \pm \sqrt {1 – {{\cos }^2}\alpha } $

$\cos \alpha= \pm \sqrt {1 – {{\sin }^2}\alpha } $

$1 + tg^{2}a = \frac{1}{cos^{2}a}$, $\alpha \ne \frac{\pi }{2} + \pi k,k \in Z$

Формули подвійного аргументу

$\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha $

$\cos 2\alpha = co{s^2}\alpha – si{n^2}\alpha $

$tg\;2\alpha = \frac{{2tg\alpha }}{{1 – t{g^2}\alpha }}$

$\sin 3\alpha = 3\sin \alpha – 4{\mkern 1mu} si{n^3}\alpha $

$\cos 3\alpha = 4\;{\cos ^3}\alpha – 3\cos \alpha $

$tg\;3\alpha = \frac{{3tg\alpha – tg^3\alpha }}{{1 – 3t{g^3}\alpha }}$

$\cos 2\alpha = 1 – 2{\sin ^2}\alpha $

$\cos 2\alpha = 2{\cos ^2}\alpha – 1$

$\cos 2\alpha + 1 = 2{\cos ^2}\alpha$

$1-\cos 2\alpha = 2{\sin ^2}\alpha $

Формули додавання

Косинус різниці і косинус суми

$cos \left( \alpha – \beta \right) = cos \alpha cos\beta + sin \alpha sin \beta$

$cos \left( \alpha + \beta \right) = cos \alpha cos\beta – sin \alpha sin \beta$

Синус різниці й суми

$sin \left( \alpha + \beta \right) = sin \alpha cos\beta + cos \alpha sin \beta$

$sin \left( \alpha – \beta \right) = sin \alpha cos\beta – cos \alpha sin \beta$

Формули тангенса суми й різниці

$tg \left( \alpha + \beta \right) = \frac{tg \alpha + tg \beta}{1 – tg \alpha tg \beta}$

$tg \left( \alpha – \beta \right) = \frac{tg \alpha – tg \beta}{1 + tg \alpha tg \beta}$

Формули зведення

формули зведення для синуса і косинуса

$\sin (\frac{\pi }{2} – \alpha ) = cos\alpha $

$\sin (\pi – \alpha ) = sin\alpha $

$\sin (\frac{{3\pi }}{2} – \alpha ) = – cos\alpha $

$\sin (\frac{\pi }{2} + \alpha ) = cos\alpha $

$\sin (\pi + \alpha ) = – sin\alpha $

$\sin (\frac{{3\pi }}{2} + \alpha ) = – cos\alpha $

$cos(\frac{\pi }{2} – \alpha ) = \sin \alpha $

$cos(\pi – \alpha ) = – \cos \alpha $

$cos(\frac{{3\pi }}{2} – \alpha ) = – sin\alpha $

$cos(\frac{\pi }{2} + \alpha ) = – \sin \alpha $

$cos(\pi + \alpha ) = – \cos \alpha $

$cos(\frac{{3\pi }}{2} + \alpha ) = sin\alpha $

Знаки тригонометричних функцій

Отже, функція y = sinx є непарною функцією, а y = cosx – парною функцією. Функція y = tgx = sinx : cosx, тому буде вірна рівність tg(−x)= −tgx, тобто функція y = tgx – непарна функція.

$cos (- a) = cos a$

$sin ( -a) = – sin a$

Правило	Приклад
Сталий множник можна виносити за знак похідної \((cu)’ = cu’\)	\((5{x^3})’ = 5({x^3})’ = 5 \cdot 3{x^{3 – 1}} = 15{x^2}\)
Похідна суми диференційованих функцій дорівнює сумі їх похідних \((u + \nu )’ = u’ + \nu ‘\)	$(x + \sqrt{x})^{'} = (x)^{'} + (\sqrt{x})^{'} = 1 + \frac{1}{2 \sqrt{x}}$
\((u\nu )’ = u’\nu + \nu ‘u\)	\(\begin{gathered} ((x + 2){x^2})’ = (x + 2)'{x^2} + ({x^2})'(x + 2) = \hfill \ = (x’ + 2′){x^2} + 2x(x + 2) = \hfill \ = (1 + 0){x^2} + 2x(x + 2) = 3{x^2} + 4x \hfill \ \end{gathered}\)
\((\frac{u}{\nu })’ = \frac{{u’\nu – \nu ‘u}}{{{\nu ^2}}}\)	\((\frac{1}{x})’ = \frac{{1′ \cdot x – x’ \cdot 1}}{{{x^2}}} = \frac{{0 \cdot x – 1 \cdot 1}}{{{x^2}}} = \frac{{ – 1}}{{{x^2}}} = – \frac{1}{{{x^2}}}\)