Арифметична прогресія – формули

Арифметична прогресія

Арифметичною прогресією називають послідовність, кожний член якої, починаючи  із другого, дорівнює попередньому члену, до якого додається одне й те саме число.

Це число називають різницею арифметичної прогресії та позначають літерою d (від початкової літери слова differentia — різниця).

 При d > 0 прогресія буде зростаючою, а при d < 0 — спадною.

Якщо у деякій числовій послідовності різниця між будь-яким її членом, починаючи з другого, і попереднім членом дорівнює одному й тому самому числу, то така послідовність є арифметичною прогресією.

Арифметичні прогресії можуть бути скінченними і нескінченними.

Щоб задати арифметичну прогресію, досить вказати її перший член і різницю. Тоді кожний наступний член можна обчислити через попередній за допомогою наступної рекурентної формули:

\({a_{n + 1}} = {a_n} + d. \)

Властивості арифметичної прогресії 

Будь-який член арифметичної прогресії, починаючи з другого, є середнім арифметичним двох сусідніх із ним членів.

\({a_n} = \frac{{{a_{n – 1}} + {a_{n + 1}}}}{2}\)

Сума будь-яких двох членів скінченної арифметичної прогресії, які рівновіддалені від її крайніх членів, дорівнює сумі крайніх членів цієї прогресії.

Формула n-го члена арифметичної прогресії

аn = a1 + (n–1)d.

Сума перших n членів арифметичної прогресії

\({S_n} = \frac{{({a_1} + {a_n})}}{2} \cdot n\)
\({S_n} = \frac{{2{a_1} + (n – 1)d}}{2} \cdot n\)

Leave a Reply