число a більше від числа b, якщо різниця a – b — додатне число;
число а менше від числа b, якщо різниця a – b — від’ємне число;
число а дорівнює числу b, якщо різниця a – b дорівнює нулю.
Для довільних чисел а і b виконується одне, і тільки одне, із трьох співвідношень:
a > b, a < b або a = b.
Для порівняння двох чисел а і b досить утворити різницю a – b і з’ясувати, є вона додатним числом, від’ємним числом чи нулем. Якщо a – b > 0,
то a > b; якщо a – b < 0, то a < b; якщо a – b = 0, то a = b.
Нерівності, складені за допомогою знаків < або >, називають строгими нерівностями, а нерівності, складені за допомогою знаків або — нестрогими нерівностями.
Порівняти числа m і n, якщо:
а) m – 3 = n – 2;
Оскільки m – 3 = n – 2, то:
m – n = 3 – 2;
m – n = 1.
Різниця m – n є додатною, тому m > n.
б) m = 1,1n і n < 0.
m – n = 1,1n – n = 0,1n.
Оскільки n < 0, то різниця m – n є від’ємною, тому m < n.
Порівняємо числа
Для цього знайдемо їх різницю:
Різниця даних чисел — число додатне, тому
Основні властивості числових нерівностей
Властивість 1. Якщо a > b, то b < a.
Властивість 2. Якщо a < b і b < c, то а < c і якщо a > b і b > c, то a> c.
Властивість 3. Якщо до обох частин правильної нерівності додати одне й те саме число, то одержимо правильну нерівність.
a < b і с — будь-яке число, a + с < b + с.
Якщо деякий доданок перенести з однієї частини правильної нерівності в іншу, змінивши при цьому знак доданка на протилежний, то отримаємо правильну нерівність.
а < b + c — правильна нерівність, а + (–с) < b + c + (–с) , а – с < b
Отже, якщо перенести доданок с у ліву частину нерівності, змінивши його знак на протилежний, то одержимо правильну нерівність.
Властивість 4. Якщо обидві частини правильної нерівності помножити або поділити на одне й те саме додатне число, то одержимо правильну нерівність.
Якщо обидві частини правильної нерівності помножити або поділити на одне й те саме від’ємне число і змінити знак нерівності на протилежний, то одержимо правильну нерівність.
a < b,
aс < bс, якщо с — додатне число,
aс > bс, якщо с — від’ємне число.
Властивість 5
Якщо а і b — додатні числа й а < b, то
Властивість 6
Якщо почленно додати правильні нерівності одного знака, залишивши їхній спільний знак, то одержимо правильну нерівність.
Якщо a < b і c < d, а + c < b + d.
Властивість 7.
Якщо почленно перемножити правильні нерівності однакового знака, ліві й праві частини яких — додатні числа, залишивши при цьому їхній спільний знак, то одержимо правильну нерівність.
a < b і c < d, де a, b, c і d — додатні числа, ас < bd.
Якщо a < b, а і b — додатні числа, n — натуральне число, то an < bn.