Синус, косинус, тангенс кутів від 0° до 180°

У прямокутному трикутнику, де a, b – катети, а с – гіпотенуза

\[\sin \alpha = \frac{a}{c}, \] \[ \cos \alpha = \frac{b}{c}, \]
\[ {\rm{tg\;}}\alpha  = \frac{a}{b}, \] \[ {\rm{ctg\;}}\alpha  = \frac{b}{a}. \]

У I і II чвертях системи координат ХОY проведемо півколо із центром
у початку координат і радіусом R = 1 Таке півколо називають
одиничним. Будемо відкладати кути від додатної півосі OХ проти руху годинникової стрілки. Нехай кут AOB = гострий і точка B (кінець радіуса
OB) має координати x і y.
У прямокутному трикутнику OBK гіпотенуза OB = 1, а катети дорівнюють координатам x і y точки B.

Значення sin α, cos α і tg α виразимо через координати точки B:

\[\sin \alpha = \frac{y}{1} = y \] \[\cos \alpha = \frac{x}{1} = x \] \[tg\alpha = \frac{y}{x} \] \[ctg\alpha = \frac{x}{y}\]

Якщо радіус одиничного півкола утворює з додатною піввіссю OХ
кут α , то:
sin α дорівнює ординаті кінця цього радіуса;
cos α дорівнює абсцисі кінця цього радіуса;
tg α дорівнює відношенню ординати й абсциси кінця цього радіуса.

α0°90°180°
sin α010
cos α10-1
tg α0не існує0
сtg αне існує0 не існує
  • sin 0º = 0, sin 90º = 1, sin 180º = 0;
  • cos 0º = 1, cos 90º = 0, cos 180º = –1;
  • tg 0º =  = 0, tg 180º =  = 0, а для кута 90º тангенса не існує, адже на нуль ділити не можна;
  • сtg 90º =  = 0, ctg 0º і сtg 180º не існують (і знову заборона ділення на нуль).

Абсциси точок для кутів від 0º до 180º змінюються в межах від –1 до 1, тобто

–1 ≤ cos α ≤ 1,

а ординати — в межах від 0 до 1, тобто

0 ≤ sin α ≤ 1.

sin(90º – α) = cos α та cos(90º – α) = sin α.

 sin2α + cos2α = 1 

\[\sin \alpha  = \sqrt {1 – {{\cos }^2}\alpha }; \cos \alpha  =  \pm \sqrt {1 – {{\sin }^2}\alpha } \]

Знак cos α обирається в залежності від того, чи є кут α гострим (знак « + ») або тупим (знак « – »).

sin(180º – α) = sin α.

cos(180º – α) =  –cos α.

tg(180º – α) = –tg α та сtg(180º – α) =  –сtg α.

На основі наданих тотожностей можна сформулювати орієнтовні правила по розв’язуванню певних завдань:

щоб знайти за однією з величин sin α, cos α, tg α та ctg α інші дві величини скористайтесь тотожностями: 

\[{\rm{tg}}\alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}, 1 + {\rm{t}}{{\rm{g}}^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}, 1 + ct{g^2}\alpha = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }},\]


sin2 α + cos2 α = 1, 

Під час використання формули 

\[\cos \alpha = \pm \sqrt {1 – {{\sin }^2}\alpha } \]

 ставте перед квадратним коренем знак « – », якщо за умовою задачі кут α – тупий;

для знаходження синуса, косинуса, тангенса і котангенса тупого кута зведіть їх до гострого кута, скориставшись тотожностями: sin (180º – α) = sin α, cos (180º – α) = –cos α,
tg (180º – α) =  –tg α, сtg(180º – α) =  –сtg α.

Leave a Reply